数学跟踪辅导系列二： （三）一元函数积分学
（四）向量空间与解析几何
一元函数积分是高等数学中最重要的一部分，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分,与一元函数积分相比，向量空间与解析几何显得不怎么重要，而且数学二不要求向量空间与解析几何中的内容。
（三）一元函数积分学
Ⅰ. 概念 原函数，不定积分，定积分，广义积分
Ⅱ. 重要定理与公式、技巧
ⅰ.注意一些常用的积分公式：
◆⑴ 特别地有：
◆⑵
◆⑶
◆⑷
◆⑸ 特别地 ，当 时：
◆⑹
ⅱ.注意定积分中常用的公式：
◆ 设 在 上连续，则 .
◆ 设 是以 为周期的连续函数，则 .
◆ .
◆ ,则
ⅲ. 不定积分解法（定积分类同不定积分）：
◆第一换元积分法（凑微分法）常见的凑微分形式：
◆ 第二换元积分法：主要是三角函数代换和倒代换：
三角函数代换：若被积函数 中含有 ，则令
若被积函数 中含有 ，则令
若被积函数 中含有 ，则令
倒代换：令 可以进行倒代换的条件：设 和 分别是被积函数 的分母和分子
关于 的最高幂次数。若 ，则可以进行倒代换，否则，不能进行倒代换。
另外，第二换元积分法中还有去根号代换。
分部积分法： .例如 、 、 、 都可以用分部积分法来求得。
◆ 有理函数积分：利用 其中 是整式，
是真分式。
Ⅲ.好题精选
例题1.求积分：
解： ＝ ＝ 因此可由 入手有：
原式
评注：该题是一道用凑微分法解的典型题，由该题要记住结论：
例题2.求积分： .
解：若能记起 ，则此题解得很顺利。
＝ ＋ .
类似 的结论还有： ； 等等。
例题3.求积分：
解：分子中 的最高次数是1，而分母中 的最高次数是3，故可以用倒代换法。令 ，
原式 ＝ （不定积分去根号时不用考虑绝对值，而定积分去根号时则要考虑绝对值）
或另解：令 ，则原式＝
＝
例题4.求积分 .
解：原式＝
评注：三角有理函数式的积分，若有理函数式分母为 ，则可以通过分子分母同时乘上一个式子，使分母变为积的形式，另外，
还可以直接变形为积的形式来求解。
例题5.求积分：
解：原式＝ ＝
＝
注意此题中三角函数积分中“1”的妙用。
例题6.设 求I=
解：I＝ ＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝
例题7.求积分：I= .
解：该题是求广义积分，广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分，应将加减函数整体积分。积分上下限代入积分函数若无意义，则理解为取极限。
I ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
（四）向量空间与解析几何
Ⅰ. 概念（略）
Ⅱ.重要定理与公式、技巧
ⅰ.向量的乘积
◆点乘： ，其中， .
性质：交换律 ；结合律 ；分配律（ ） ＝ ＋ .
若 则 ＝ .
.
若 ，则 ，也即 。
◆叉积：也即向量积 ，该向量同时垂直于 ，且 成右手系关系。
是以 为边的平行四边形的面积。
性质：反交换律 ；结合律 ；分配律（ ） ＝ ＋ .
若 则 .
若 ，则 ，也即 .
◆混合积： ，且有：
若 则 是以 为边的平行六面体的体积或相反数，以 为边的四面体的体积为 .
若 共面，则有 或者存在不全为零的数 ，使 .
ⅱ.关于平面的一些问题：
◆两平面间夹角 ：平面 和平面 间的夹角 可以由公式 求出且 .
◆点到平面之距和两平行平面之距：点 到 之距为 .两平行平面 和 之距为 .
◆平面束：设平面 与平面 相交于直线L，则过L可以做无数个平面，这些平面构成一个平面束，平面束方程为 ，但是该方程不能表示 .这样，用平面束求解问题时，要注意最后检验 是否满足题意。
ⅲ.关于直线的一些问题：
◆ 直线与直线间的交角 可以由公式 求出，其中 与 分别是两条直线的方向矢量。且 。
◆ 直线与平面的夹角 可以由公式 求出。
◆点 到直线L： 的距离为：
.
ⅳ.空间曲线与空间曲面：
◆ 投影曲线方程：设有空间曲线Γ： （*），Γ在 平面上的投影方程可如此求得：从方程组（*）中消去 ，得到一个母线平行于 轴的柱面方程 ，则Γ在 平面上的投影方程为 ，即为“消元，令元 ”.
◆旋转曲面方程：设有平面曲线L： 曲线L绕 轴旋转所成的旋转曲面方程是： ，绕 轴旋转所成的旋转曲面方程为： .
◆准线为Γ： ，母线的方向矢量为 的柱面方程：首先在准线上任取一点 ，则过该点的母线方程为： ，其中 为母线上任一点的流动坐标，消去方程组 的 便得所求的柱面方程。
◆准线为Γ： ，顶点为 的锥面方程：先设 为锥面上任一点，直线 为锥面的母线，它与准线Γ的交点为 ，则母线方程为 ，从联立方程组 中消去 ，便得所求锥面方程为 .
Ⅲ.好题精选
例题1.判断下列两条直线 ， 是否在同一平面内，若在，求交点；不在，求两直线间的距离。
解：直线 的方向矢量分别为 ，这两条直线分别通过点 ， 故直线 是异面直线。
直线 的参数方程分别是 ， ，设两直线间距离是 ，则 ，
令 ，
，由二元函数求极值的方法可知，当 时距离 最小，为 ，此即为两异面直线的间距。
